Исследование функции пособие

27.06.2018 Выкл. Автор admin

Высшая математика (Учеб. пособие). Авторы: Никулина Л.С., Степанова А.А. , редактор: Александрова Л.И.

При решении этой задачи находят:

1) область определения функции;

2) точки разрыва и исследуют поведение функции в граничных точках области определения;

3) находят нули функции и промежутки ее знакопостоянства;

4) находят асимптоты;

5) критические точки и интервалы монотонности;

6) точки перегиба и интервалы выпуклости.

Замечание. Если функция f(x) четная, т.е. f(x) = f(–x), или нечетная, т.е. f(x) = – f(–x), то исследование функции достаточно провести для x³0, а затем по свойству четности или нечетности построить график при x и построить ее график.

Решение. 1) Функция у = определена всюду, кроме точки x=1. Отсюда область определения её: (–¥,1) È(1,+¥).

2) x=1 – точка разрыва функции.

Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:

f (x) = = +¥,

f (x) = = +¥, так как при х®1 знаменатель дроби является положительной бесконечно малой.

= = =+¥;

= = =–¥.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е. график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0).

4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.

Найдем наклонные асимптоты:

k= = = = = 1, т.е. k =1;

b = ( f ( x)– kx) = = = = = = = = = =2,

т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2.

Легко убедиться, что при x ®–¥ k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же y = x+2.

5) Найдем производную функции: y’ = =

= = = .

Приравнивая y’ к нулю, получим x 3 –3x 2 =0, откуда имеем критические точки x1=0, x2=3. Для исследования знака производной в интервале (–¥;0), (0;3) и (3; +¥) на числовой оси отметим точки x=0, x=3 и х=1.

Определим знаки y’ = в указанных интервалах.

Исследование функций

Учреждение образования Федерации профсоюзов Беларуси «Международный университет «МИТСО»

Факультет международных экономических отношений и менеджмента

Практикум для самостоятельной работы студентов

по теме « Исследование функций »

Автор-составитель: О.А. Мокеева, канд. физ.-мат. наук, доцент

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература Учебники

1. Высшая математика: Общий курс: учеб. для вузов / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.И. Яблонского. − Мн.: Выш. шк., 1993. − 349 с.

2. Карасев, А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. Основы высшей математики: учеб. пособие для студ. экон. спец. вузов / А.И. Карасев, З.М. Аксютина, Т.И. Савельева. − М.:

Высш. шк., 1982. − 272 с.

3. Кудрявцев, В.А. Краткий курс высшей математики: учеб. пособие для естеств. спец. ун-тов / В.А. Кудрявцев, Б.П. Демидович. − М.:

Наука, 1989. − 656 с.

4. Марков, Л.Н. Высшая математика. Ч. 1. Элементы линейной и векторной алгебры. Основы аналитической геометрии: учеб. пособие для вузов / Л.Н. Марков, Г.П. Размыслович. − Мн.: Амалфея, 1999. − 208 с.

5. Минюк, С.А. Высшая математика: учеб. пособие для вузов / С.А. Минюк, Е.А. Ровба. − Гродно: ГрГУ, 2000. − 394 с.

6. Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для немат. спец. вузов

/ В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. − М.: Высш. шк., 1990. − 479 с.

7. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: Выш. шк., 1988. − 246 с.

8. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. − М.: Наука, 1987. − 349 с.

9. Сборник задач и упражнений по высшей математике: Общий курс: учеб. пособие / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Выш. шк., 1994. −

10. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике.

В 3 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / А.П. Рябушко [и др.]; под ред.

А.П. Рябушко. − Мн.: Выш. шк., 1990. − 269 с.

Дополнительная литература Учебники

11. Высшая математика для экономистов: учеб. для вузов / Н.Ш. Кремер [и др.]; под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ, 2002. − 471 с.

12. Гусак, А.А. Высшая математика. В 2 т. Т. 1: учеб. пособие для вузов / А.А. Гусак. − Мн.: ТетраСистемс, 1998. − 544 с.

13. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах.

В 2 ч. Ч. 1: учеб. пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. − М.: Оникс, 2002. − 304 с.

14. Красс, М.С. Математика для экономических специальностей: учеб. для вузов / М.С. Красс. − М.: Дело, 2002. − 704 с.

15. Шипачев, В.С. Высшая математика: учеб. для вузов / В.С. Ши-

пачев. − М.: Высш. шк., 1998. − 479 с.

16. Малыхин, В.И. Математика в экономике / В.И. Малыхин. − М.:

ИНФРА-М, 2002. − 352 с.

17. Высшая математика / А.В. Кузнецов [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1993.

18. Математический словарь высшей школы / В.Т. Воднев [и др.]. − Мн.: Высшая школа, 1984.

19. Кастрица, О.А. Высшая математика: учебное пособие / О.А. Кастрица. − Мн.: Новое знание, 2005.

20. Гусак, А.А. Справочник по высшей математике: учеб. для вузов / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. − Мн.: ТетраСистемс, 2000. − 640 с.

21. Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для вузов / под ред. Н.Ш. Кремера. − М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

Наглядные и методические пособия

22. Тютянова, В.А. Высшая математика: учебно-методический комплекс (1 курс) / В.А. Тютянова. − Гомель: ГФ МИТСО, 2007. − 145 с.

23. Электронный учебно-методический комплекс «Высшая математика» / Ю.И. Воротницкий [и др.]. − Мн.: БГУ, 2009. − 7376 с

С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

1. Четность, нечетность и периодичность функции

Функция f ( x ) называется четной, если:

1) множество D ( f ) симметрично относительно нуля;

2) для любого x D ( f ) справедливо равенство f ( x ) f ( x ) .

График четной функции симметричен относительно оси Oy .

Функция f ( x ) называется нечетной, если:

1) множество D ( f ) симметрично относительно нуля;

2) для любого x D ( f ) справедливо равенство f ( x ) f ( x ) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат .

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется

И.С. Бурцев. Методическое пособие по GeoGebra построение графиков, исследование функций

1 И.С. Бурцев Методическое пособие по GeoGebra построение графиков, исследование функций 2

2 Оглавление Оглавление. 3 Введение. 4 Глава I. Основы работы с GeoGebra. 5 Запуск программы. 5 Строка ввода. 6 Примеры записи выражений. 7 Глава II. Построение графиков функций. 8 Построение графика функции f(x)=kx+b Построение графика квадратичной функции График кубической функции График функции f(x)=sin(x) График функции f(x)=cos(x) Логарифмическая функция Глава III. Исследование функций Изучение свойств функций в программе GeoGebra с помощью команд Изучение свойств функций в программе GeoGebra, отсутствующих в меню команд Касательная к графику функции Заключение Литература:

3 Введение Работа является учебным пособием на тему «Методическое пособие по GeoGebra: построение графиков, исследование функций». Она представляет собой практическое руководство по изучению возможностей динамической геометрической среде GeoGebra. Последовательное изучение тем позволит шаг за шагом освоить основные приемы работы в математической системе GeoGebra. Целью работы является разработка методического пособия по использованию динамической геометрической среды GeoGebra в образовательном процессе. Облегчить обучения школьников решению математических задач, а также ускорить процесс построения графиков на уроках математики и физики на персональном компьютере при помощи среды GeoGebra. В первую очередь предназначена для обучения учителей применению данной программы для построения графиков и исследования функций на персональном компьютере при помощи GeoGebra. Задачи и упражнения, приведенные в качестве примеров и практических заданий. Работа состоит из Введения, 3-х глав, Контрольных вопросов, Контрольных заданий с 15 вариантами, Заключения, Списка использованной литературы. Первая глава посвящена основным элементам программы GeoGebra. Во второй главе идет речь о процессе построения графиков различных функций. Третья глава посвящена исследованию функций. В четвертой главе речь пойдет о построение графиков. 4

4 Глава I. Основы работы с GeoGebra Рассмотрим более подробно программу GeoGebra, которая как нельзя лучше подходит для использования ее в процессе обучения. GeoGebra это свободная образовательная математическая программа, соединяющая в себе геометрию, алгебру и математические исчисления. Проще говоря, вы можете строить чертежи, используя точки, векторы, отрезки, линии и конусные сечения, а также другие функции, которые вы сможете впоследствии изменять, работая только с помощью мыши. С другой стороны, возможен также прямой ввод условными символами, например: g: 3x+4y=7 или c: (x-2)^2+(y-3)^2=25, и перечень команд, включая дифференциацию и интеграцию, — всё это в вашем распоряжении. Самой запоминающейся характеристикой GeoGebra является двойное отображение объектов, то есть каждое выражение в окне алгебры соответствует объекту в блокноте и наоборот. Запуск программы После запуска GeoGebra появляется окно, как показано ниже (Рисунок 1). С помощью чертежных инструментов (моделей), которые выбираются на панели инструментов, вы можете строить чертежи в блокноте, используя мышь. В это же время соответствующие координаты и уравнения отображаются в окне алгебры. Поле ввода текста используется для непосредственного ввода координат, уравнений, команд, функций; они сразу отображаются в блокноте после нажатия клавиши ввод (Enter). 5

Читайте так же:  Закон о тишине в орле

5 Рисунок 1 Строка ввода Для построения графиков и исследования функций мы будем использовать строку ввода Строка ввода состоит из двух частей: непосредственно сама Строка ввода, а также Список команд (Рисунок 2) выпадающее меню, в котором можно выбрать команду для ввода из списка. Отображение Списка команд можно отключить в меню Вид. Рисунок 2 6

6 Так же на Строке ввода имеются выпадающие меню со специальными символами и обозначениями (Рисунок 3). Рисунок 3 И меню с буквами греческого алфавита (Рисунок 4). Рисунок 4 Примеры записи выражений 1. Для записи выражения sin α из первого выпадающего меню выбираем пункт sin(x), удаляем из скобок x и на его место вставляем символ α из второго меню. 2. При записи модуля и квадратного корня используются буквенные обозначения, пришедшие из языков программирования abs(x) и sqrt(x), которые можно также найти в первом выпадающем меню. 3. Число π можно найти сразу во всех двух меню. 7

7 Глава II. Построение графиков функций В программе GeoGebra график можно построить двумя способами: геометрическим (с помощью инструментов и команд) и алгебраическим (путем ввода формулы в командную строку). Мы рассмотрим более подробно второй способ. Построение графика функции f(x)=kx+b. Построить график данной функции можно двумя способами. Выбор способа построения зависит от цели задания. Если нам дано уравнение, где коэффициенты k и b уже известны, то в строку ввода формул(поле ввода текста) записываем функцию (например, y=2x+3). Рисунок 5 8

8 Если же значение коэффициентов k и b заранее нам не известны, то мы можем построить график функции с изменяемой величиной значения этих коэффициентов. Для этого создаем два ползунка k и b: Рисунок 6 Вводимая формула будет иметь вид y=kx+b, где k и b имена ползунков. Полученный график можно будет изменять в пределах установленных границ. Рисунок 7 9

9 Рисунок 8 Построение графика квадратичной функции a) функция с заданными коэффициентами Построим график функции f(x)=3x Для этого введем формулу f(x)=3x^2+4 в строку формул, после чего получим следующий график: Рисунок 9 b) функция с изменяемыми переменными Построим график функции f(x)=a*x 2 +b. 10

10 Как и в случае с графиком прямой используем инструмент «Ползунок». Строим два ползунка с именами a и b, шаг изменения значений ставим равным единице. После того как ползунки будут готовы вводим формулу f(x)=a*x^2+b. Получаем график: Рисунок 10 Рисунок 11 График кубической функции a) функция с заданными коэффициентами Построим график функции f(x)=x 3 +x Вводим формулу f(x)=x^3+x^2+1 в строку. Нажимаем Enter. 11

11 Рисунок 12 b) функция с изменяемыми переменными Построим график функции f(x)=a*x 3 +b*x 2 +c. В данной функции у нас три коэффициента a,b,c значения которых не определены, поэтому нам нужно построить три ползунка и указать в каких диапазонах и с каким шагом будут меняться значения коэффициентов. После того как ползунки для коэффициентов a,b и c будут готовы введём формулу f(x)= a*x^3+b*x^2+c. Получаем график: 12

12 Рисунок 13 График функции f(x)=sin(x) a) функция с заданными коэффициентами При построении графика функции f(x)=sin(x) вводим формулу в строку формул и получаем готовый график. Рисунок 14 13

13 b) функция с изменяемыми переменными Если же в основную формулу добавляются коэффициент и свободный член, то построение происходит по тому же алгоритму, что и в предыдущих функциях. Рассмотрим на примере функции f(x)=sin(а*x)+b. Строим два ползунка a и b, затем вводим формулу f(x)=sin(а*x)+b Рисунок 15 График функции f(x)=cos(x) a) функция с заданными коэффициентами Процесс построение графика функции f(x)=cos(x) в программе GeoGebra ничем не отличается от процесса построения графика функции f(x)=sin(x). Вводим формулу f(x)=cos(x), нажимаем клавишу Enter и смотрим получившийся график: Рисунок 16 14

14 b) функция с изменяемыми переменными Рассмотрим на примере функции f(x)=cos(а*x)+b. Строим два ползунка a и b, затем вводим формулу f(x)=cos(а*x)+b, после нажатия клавиши Enter появляется график: Рисунок 17 Логарифмическая функция 1) натуральный логарифм: a) функция с заданными коэффициентами Построим график функции f(x)=ln(x). 15

15 Рисунок 18 b) функция с изменяемыми коэффициентами Построим график функции f(x)=a*ln(b*x)+c. В данном случае мы взяли три коэффициента, соответственно нам понадобиться три ползунка, отвечающих за изменение значений этих коэффициентов. 16

16 Рисунок 19 2) десятичный логарифм a) функция с заданными коэффициентами Построим график функции f(x)=lg(x). 17

17 Рисунок 20 b) функция с изменяемыми коэффициентами Построим график функции f(x)=a*lg(b*x)+c. Рисунок 21 В ПРОЦЕССЕ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ, ФОРМУЛА ФУНКЦИИ ЗАПИСЫВАЕТСЯ ТОЛЬКО С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛАТИНСКИХ БУКВ. 18

18 Глава III. Исследование функций Изучение свойств функций в программе GeoGebra с помощью команд 3 2 Рассмотрим, например, свойства функции ( x) x x 1 f. 1. Открываем программу GeoGebra и в окно ввода данных (1) записываем исследуемую функцию f ( x) x^3 x^ Нажимаем Enter. На поле чертежей появится график функции f ( x) x 3 x 2 1. Для удобства можно сделать его цветным и увеличить его толщину. Для этого наводим на график курсор (график должен стать более жирным) и щелкаем правой клавишей мыши. В появившемся подменю выбираем (щелкаем на ней мышью) последнюю строку Свойства и в окошке Цвет щелкаем на нужном оттенке. Затем нажимаем на соседнее окно Размер и ведем курсором стрелочку в верхнем прямоугольнике, например, до цифры 5. Теперь нажимаем на рамочку со словом Закрыть. График изменил цвет и стал более жирным. 3. Теперь покажем на графике корни (нули) функции. Для этого используем команду Корень которую можно ввести самостоятельно в окно ввода данных, т.е. набрать Корень[f], или найти, используя список команд в правом нижнем углу Команды, регулируемый бегунком. Затем в квадратные скобки записать f. 4. Нажимаем Enter. На графике появились точки пересечения с осью ОХ. Определить абсциссы этих точек можно с помощью окна алгебры, в котором автоматически появляются координаты полученных точек. 5. Для нахождения точек экстремума функции используем команду Экстремум (находим ее в окне команд и щелкаем на ней мышью). В окне набора появится Экстремум []. Необходимо в квадратные скобки записать f. 19

19 6. Нажимаем Enter. На графике появились новые точки, которые можно выделить другим цветом (так как описано в пункте 2). 7. Команда ТочкаПерегиба поможет продемонстрировать точки перегиба фунции. Используем список команд в правом нижнем углу Команды, регулируемый бегунком. Выбрав соответствующую команду и щелкнув на ней, и вставив затем f, в окне набора в итоге должно быть записано ТочкаПерегиба [f]. 8. Нажимаем Enter. На графике появилась точка перегиба. Ее также можно выделить другим цветом, а также изменить размер. 9. Нахождение первой производной. Выбираем в меню Команд пункт Производная[] и в квадратных скобках указываем имя функции [f]. 10. Для графика первой производной находим корни (нули) функции для этого повторяем пункт Для нахождения второй производной повторяем пункт 9, но указываем имя функции не f, а f. 12. В окне алгебры можно увидеть все построенные точки и их координаты, которые будут также выделены тем цветом, что и сами точки на графике. 13. В результате получим следующую картинку (рис.). Рисунок 22 20

20 Изучение свойств функций в программе GeoGebra, отсутствующих в меню команд С помощью программы можно также показать и другие свойства функций. Рассмотрим некоторые из них и покажем, как можно их выделить на чертеже. 1. Промежутки, в которых функция принимает положительные и отрицательные значения, можно выделить на чертеже цветом. Покажем это на примере графика функции y ( x 1) 2 4 (вводить формулу можно в любом виде, в окне алгебры формула запишется так: 2 y x 2x 3). 2. Поставим точки пересечения графика с осью ОХ. Это можно сделать, как было описано выше с помощью команды Корень[f], а можно используя панель инструментов. Во втором квадрате выбираем вторую строку Пересечение двух объектов, и щелкаем последовательно на графике и на оси ОХ. Появляются две точки А и В, координаты которых записаны в окне алгебры (3). 3. Выделим полученные точки, например, зеленым цветом и увеличим их размер, для этого достаточно щелкнуть на одной из точек и вывести для нее подменю, в котором выбираем последнюю строку Свойства. Изменим цвет и размер сначала для одной точки, затем в левом окне подменю Объекты (в котором показаны все построенные объекты), щелкнем на второй точке и также изменим ее. 4. Выделим теперь промежуток, в котором функция принимает отрицательные значения. Выбираем третий квадрат на панели инструментов и в нем вторую строку Отрезок по двум точкам (отрезок, соединяющий две точки), которая проиллюстрирована соответствующим рисунком. И 21

Читайте так же:  Договор о стоянки автобуса

21 последовательно нажимаем на точки А и В курсором (они становятся более яркими и крупными). Получился отрезок а (в окне алгебры автоматически появилась длина этого отрезка). 5. Выделим полученный отрезок, например, синим цветом. Для этого делаем активным первый квадрат на панели инструментов (операция Перемещать) и щелкаем на отрезке а, появится окошко, в котором будет два объекта (отрезок а и ось абсцисс). Выбираем отрезок а и еще раз щелкаем на нем. Появляется окно Свойства. Выбираем нужный оттенок и размер. 6. Можно скрыть название отрезка (а). Для этого тут же в свойствах выбираем первую задачу Основные и в нем вторую операцию Показывать обозначения, отменяем эту операцию (щелкаем на квадратике с галочкой, галочка должна исчезнуть). Затем нажимаем Закрыть. 7. Также выделяем другим цветом промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения. В данном случае это будут два луча, поэтому выбираем в третьем квадрате четвертую строку Луч по двум точкам и нажимаем последовательно на точку А и затем на любую точку правее ее. Появится точка С и обозначение луча, которые можно скрыть, нажав на них правой клавишей мыши и в появившемся подменю для точки, щелкнуть на третьей строке Показывать объект (убрать галочку напротив этих слов). Также отмечаем луч с началом в точке В и выделяем полученные лучи нужным цветом с помощью свойств. 8. Для наглядности можно записать, что синим цветом выделен промежуток, в котором функция принимает отрицательные значения, а красным промежутки, в которых она принимает положительные значения. Для этого выбираем восьмой предпоследний квадрат на панели инструментов Надпись, который проиллюстрирован буквами АВС. Нажимаем на этом поле, а затем на поле чертежей. Появляется окно Текст. Теперь ставим курсор на поле выделенного прямоугольника и пишем y 0. Затем нажимаем внизу ОК. Текст появляется довольно мелкий, поэтому 22

22 изменяем его размеры и цвет. Выбираем последнюю строку Свойства и в появившемся окне щелкаем на третьем прямоугольнике Текст и ставим нужный размер, толщину и наклон, в четвертом прямоугольнике выбираем оттенок и нажимаем Закрыть. Затем также набираем текст y 0 и повторяем те же действия для нового текста. 9. Получаем следующую картинку: Рисунок 23 23

23 Касательная к графику функции Программа GeoGebra предоставляет возможность строить касательные к графикам различных функций. x 3. x 3x в точке 3 2 Построим касательную к графику функции Записываем поочередно в область ввода окно набора следующие команды и после каждой нажимаем клавишу Enter: 1. Набираем a 3 (строим касательную в точке х 3). 2. Затем f x x^3 3x^2 появится график данной функции. f x 0 (Enter). В результате в области чертежей 3. После построения графика в окне команд находим слово Касательная и нажимаем на нем левой клавишей мыши, оно появляется в окне набора. Теперь в квадратных скобках записываем [a,f], таким образом, вводим команду t=tangent[a,f]. (Enter). 4. График касательной построен (Рисунок 24). Рисунок 24 24

24 5. В окне алгебры (слева от области чертежей) появляется уравнение касательной к построенному графику. 25

25 Заключение В работе: приведено описание изучаемых команд GeoGebra по теме построение графиков и исследование функций; приведены примеры решения практических заданий с подробным пошаговым описанием действия команд GeoGebra на конкретных примерах; эти задания предназначены для выполнения студентами под руководством преподавателя; приведено 15 вариантов контрольных заданий, в которых 9 задач для самостоятельного выполнения студентами. 26

26 Литература: Исследование_функции

27 Вариант 1 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -5;3], b [- 3;5] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-2 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] Постройте график производной от функции: f(x) = x — 2x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -2;4 ], d [ -5;5 ] 5. Постройте график функции: f(x)=sin3x. 6. Постройте график функции: f(x)=-cos(x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 4x. 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 +5x. 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=-x -4x+2, х =-1. Вариант 2 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -3;5], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-1 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] 3 3. Постройте график производной от функции: f(x) = x + 8x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -6;4 ], d [ -5;8 ] 5. Постройте график функции: f(x)=sin1/3x. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(-x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 3x. 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 3x

28 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=-x +6x+8, х =-2. Вариант 3 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;3], b [- 1;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-4 ;5 ], b [1 ;5 ], c [-3 ;5 ] 3 3. Постройте график производной от функции: f(x) = x — 4x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -3;4 ], d [ -2;3 ] 5. Постройте график функции: f(x)=sin(3x-π/2). 6. Постройте график функции: f(x)=2cos(x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 2x. 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 +2x. 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 4 f(x)=x +5x+5, х = Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -1;3], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-7 ;5 ], b [-3 ;5 ], c [1 ;5 ] Постройте график производной от функции: f(x) = 2x — 9x +12x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -5;7 ], d [ -4;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-sin3x

29 6. Постройте график функции: f(x)=-3cos(x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 10x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 +10x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=2cosx, х = 2 Вариант 5 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;5], b [1;4] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-5 ;0 ], b [0 ;5 ], c [1 ;5 ] Постройте график производной от функции: f(x) = x — x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ 2;7 ], d [0;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-2sin(1/3x). 6. Постройте график функции: f(x)=½cos(x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 5x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=3x 3 +5x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 6 f(x)=sinx, х =π 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -5;3], b [- 3;5] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-2 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) 1 3 = 2x 3 — x 30

30 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -2;4 ], d [ -5;5 ] 5. Постройте график функции: f(x)=sin(2x+π/3)-1,2. 6. Постройте график функции: f(x)=2cos(2x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= 2×3 2x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 7 f(x)=1-sin2x, х =0. 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -3;5], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-1 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) = 2x 3-3x 2-12x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -6;4 ], d [ -5;8 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-sin(1/2x-π/6) Постройте график функции: f(x)=1/2cos(1/2x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x 2x 2 4x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 4x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 8 1 f(x)= ; х =-2. x 3 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;3], b [- 1;2] 31

Читайте так же:  Возврат массивов из функций

31 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-4 ;5 ], b [1 ;5 ], c [-3 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) = 2x 3 + 9x 2 +12x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -3;4 ], d [ -2;3 ] 5. Постройте график функции: f(x)=2sin(2x+π/3)-1,5. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(x)-1,5. 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x 2x 2 3x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= 2x 3 +7x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 9 f(x)= 2+x-2x, x =1. 1. Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -1;3], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-7 ;5 ], b [-3 ;5 ], c [1 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: + 3x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -5;7 ], d [ -4;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=3sinx. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(x-π/4). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x/ 1 x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= x/(1+x 3 ). 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : 2 x f(x)=, x =8. 2 f(x) = x 3 32

32 Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;5], b [1;4] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-5 ;0 ], b [0 ;5 ], c [1 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ 2;7 ], d [0;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-2sinx. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(2x-π/3). f(x) = x 3 + 3x 7. Постройте график и исследуйте функцию: f x x 2 8x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 3 8x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : Вариант 11 f(x)= 5x -3x -7, x = Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -5;3], b [- 3;5] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-2 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] Постройте график производной от функции: f(x) = x — 3x + 9x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -2;4 ], d [ -5;5 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-3sin2x. 6. Постройте график функции: f(x)=cos(x-1) Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)= 4x 3+ 2x

33 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)= 3x -2lnx, x =2. Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -3;5], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-1 ;2 ], b [1 ;3 ], c [-3 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) 3 = — 2x 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -6;4 ], d [ -5;8 ] 5. Постройте график функции: f(x)=1/2sin3x. 6. Постройте график функции: f(x)=-2cos(2x+π/3). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f ( x )=2x 2 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=5x 3 8x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : 1 6 f(x)= x -x+14, x =1. 3 Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;3], b [- 1;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-4 ;5 ], b [1 ;5 ], c [-3 ;5 ] 3 3. Постройте график производной от функции: f(x) = x Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -3;4 ], d [ -2;3 ] 34

34 5. Постройте график функции: f(x)=2sin(3x+ π/2). 6. Постройте график функции: f(x)=-1/2cos(3x-π/2) Постройте график и исследуйте функцию: f ( x )=2x 2 x Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=2x 3 x Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=2sinx+2, x =0. Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -1;3], b [- 5;2] 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-7 ;5 ], b [-3 ;5 ], c [1 ;5 ] 3. Постройте график производной от функции: f(x) = (x — 3) 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ -5;7 ], d [ -4;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-sin(1/3x- π/6). 6. Постройте график функции: f(x)=ǀ cos(x)ǀ. 7. Постройте график и исследуйте функцию: f ( x )=3x 2 x 2). 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x /(x 2). 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)=4cosx-1, x =. 6 x 2 Вариант Постройте график линейной функции: f(x)=ax+b, где a [ -4;5], b [1;4] 35

35 2. Постройте график функции f(x)=ax 2 +bx+c, где a [-5 ;0 ], b [0 ;5 ], c [1 ;5 ] 2 4x (x — 2) 3. Постройте график производной от функции: f(x) = 2 4. Постройте график функции f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d, где a,b,c [ 2;7 ], d [0;4 ] 5. Постройте график функции: f(x)=-2sin(2x-2) Постройте график функции: f(x)=-1/2cos(2-x). 7. Постройте график и исследуйте функцию: f ( x)=(x 2,5)/(x2 4). 8. Постройте график и исследуйте функцию: f(x)=x 2,5/(x 3 5) 9. Проведите касательную к графику функции f(x) в точке с абсциссой x 0 : f(x)= 2 x +3, x =4. 36

Исследование функции пособие

В учебном пособии изложены основные сведения по клинической физиологии дыхания, необходимые для понимания основных положений функциональной диагностики, усвоения принципов выполнения функциональных проб, методики расчета основных показателей, характеризующих функциональное состояние аппарата внешнего дыхания, а также клинической интерпретации результатов исследования. Приведены клинические примеры построения функционального компонента клинического диагноза.

Содержание учебного пособия «Исследование функции аппарата внешнего дыхания» написано в соответствии с учебной программой для студентов врачебных факультетов. В пособии кратко изложена структура аппарата внешнего дыхания и его функция. Достаточно емко представлены вопросы, касающиеся современных методов исследования показателей вентиляции и биомеханики дыхания.

Особое внимание уделено интерпретации данных, полученных при исследовании функции аппарата внешнего дыхания. Обосновано большое значение функциональных проб и в то же время убедительно доказана необходимость оценки их в совокупности с данными расспроса и объективных исследований.

Убедительно показана целесообразность рассматривать недостаточность внешнего дыхания не как узковедомственную проблему, а далеко выходящую за пределы пульмонологии. Это позволит своевременно диагностировать осложнения со стороны аппарата внешнего дыхания при заболеваниях разных органов и систем и провести соответствующую коррекцию в лечении.

Классификация недостаточности функции внешнего дыхания, изложенная в учебном пособии отвечает требованиям, предъявляемым к любой классификации вообще: она однозначна и структурна. В основу клинико-физиологической классификации положены 2 уровня показателей — это газы крови (основной уровень) и показатели вентиляции легких (дополнительный уровень). Кроме того, изложены основные синдромы, наблюдающиеся при нарушении функции аппарата внешнего дыхания.

Доступно и ясно изложены вопросы, касающиеся практического применения классификации недостаточности внешнего дыхания с использованием клинических случаев и примеров формулировки синтетического диагноза, включающего функциональный компонент.

Учебное пособие построено с учетом дидактического аспекта, что существенно улучшит усвоение рассматриваемого материала.

Данное учебное пособие будет полезно для студентов и преподавателей высших медицинских учебных заведений, а также врачей различного профиля.